ENUNCIADO_INVERSION_EJERCICIO_1

Determina la figura A1B1C1D1, inversa de la ABCD dada, en una inversión de centro O que convierte el punto A en A1.

Pincha aqui para ver la solución!!!!

SOLUCIONES_INVERSIÓN_EJERCICIO_1

Recordamos el enunciado:
           

Determina la figura A1B1C1D1, inversa de la ABCD dada, en una inversión de centro O que convierte el punto A en A1.

Sabemos que la inversión es una transformación en la que se cumple que: 

1- La transformación es con centro: Un punto y su inverso están alineados con el centro de inversión (O).

2- La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de inversión se basan en el concepto de potencia. El producto de la distancia de un punto al centro de inversión por la distancia de su inverso al centro de inversión es constante (K) y se llama potencia de inversión. Por ello se cumple que:

OA*OA1 = OB*OB1 = OC*OC1=OD*OD1= OT*OT=K  

Puesto que A, C y D están a la misma distancia del polo, la única manera de que se cumplan las dos condiciones citadas es que A1, C1, D1 se encuentren sobre una circunferencia de centro O y radio el determinado por el valor de la potencia de inversión.

 Puesto que en el enunciado nos facilitan A1, punto inverso de A, los puntos C1, D1 estarán sobre la circunferencia de centro O y radio A1, que llamaremos c2. Por ser una transformación con centro, los puntos inversos C1, D1 se encuentran concretamente donde la recta que une cada punto con el centro de inversión intersecciona con la circunferencia c2, como muestra la siguiente figura:

Ahora nos proponemos invertir la circunferencia c, sabemos que:

La inversión de una circunferencia que no pasa por el centro de inversión es otra circunferencia que tampoco pasa por O y que es homóloga a la primera.

Puesto que los puntos A, C y D pertenecen a la circunferencia c sus puntos inversos A1, C1, D1 pertenecerán a la circunferencia invertida c1. Tenemos tres puntos de la circunferencia inversa buscada, luego ya podemos dibujarla. Observamos que la circunferencia buscada coincide con C2. Lo cual nos permite generalizar y enunciar la siguiente conclusión:

La inversión de una circunferencia cuyo centro y centro de inversión coinciden es otra circunferencia concéntrica a la misma.

Hallamos ahora la inversa de la recta que pasa por los puntos A y C, sabemos que:

La inversión de una recta que no pasa por el centro de inversión es una circunferencia que pasa por el centro de inversión y a la que llamaremos ac1. Puesto que ya conocemos tres puntos de dicha circunferencia O, A1y C1 ya podemos dibujarla. Basta con hallar las mediatrices de los segmentos O-A1 y O-C1 y donde se corten se encontrará el centro O1 de dicha circunferencia.

Finalmente hallamos el punto B1 inverso del punto B. Deberá pertenecer a la circunferencia ac1 y estar alineado con los puntos O y B, luego ya podemos dibujarlo.

Hemos acabado nuestro ejercicio, la figura inversa buscada es la definida por los puntos A1, B1, C1 y D1 y las circunferencias c1 y ac1, o lo que es lo mismo, la figura resultante de la diferencia de las circunferencias c1 y ac1.

SOLUCIONES_MEDIATRIZ_EJERCICIO CAJA DE ESCALESRAS

Trazamos el segmento que une los puntos I y J

Hallamos la mediatriz de dicho segmento

Se trazan dos arcos de igual radio arbitrario desde los puntos I y J (radio > IJ/2). Los dos arcos se cortan en dos puntos L y K que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

Finalmente se traza la mediatriz, recta que contiene los puntos L y K

Repetiríamos la misma operacion con las otras dos plantas para acabar de solucionar el problema.

MEDIATRIZ_EJERCICIO CAJA DE ESCALERAS

Para practicar el concepto de mediatriz resuelve el siguiente ejercicio:

Un edificio de viviendas tiene 4 plantas. Para acceder a cada una de las plantas, además del ascensor, hay una escalera que recorre todo el edificio.

La escalera es de dos tramos por planta y la meseta o descansillo de la misma siempre se encuentra en la mitad de cada planta. Por tanto, los dos tramos de escalera de una misma planta son iguales.

Sabiendo todo lo anterior, dibuja sobre el esquema dado y a la altura correspondiente la recta en la que se encuentra la meseta de la escalera de cada planta.

Unos esquemas para que te situes mejor:

Y ahora el gráfico sobre el que debes dibujar la solución:

MEDIATRIZ

En esta entrada aprenderás:

1. Qué es una mediatriz de un segmento.
2. Cómo se realiza la construcción gráfica de una mediatriz.
3.Aplicaciones de la mediatriz en la geometría.

MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO AB:

Es la recta (r) perpendicular a dicho segmento que pasa por su punto medio M ( M= AB/2).

Además la mediatriz de un segmento cumple que: cualquier punto (P) de ella equidista de los extremos del segmento A y B, es decir, AP=BP.

CONSTRUCCIÓN GRÁFICA DE LA MEDIATRIZ:

1-Se trazan dos arcos de igual radio arbitratio desde el punto A y B. El radio de dichos arcos siempre debe ser mayor que la mitad de la longitud del segmento.
2-Los dos arcos se cortan en dos puntos C y D que pertenecen a la mediatriz, puesto que cumplen la condición de equidistar de los extremos del segmento.

APLICACIONES DE LA MEDIATRIZ EN GEOMETRÍA:

GEOMETRIA DINÁMICA_TEOREMA DE PITÁGORAS

Con esta geometría dinámica entenderás mejor el Teorema de Pitágoras. Arrastra el punto B con el ratón y comproborás que la hipotenusa al cuadrado siempre es igual a la suma de los catetos al cuadrado.