TEORÍA INVERSIÓN

INTRODUCCIÓN:

La inversión es una transformación que conserva las relaciones angulares (es conforme).

Su principal aplicación en geometría es la determinación de problemas con condiciones angulares entre los que se encuentran la resolución de ejercicios con tangencias.

DEFINICIÓN:

La Inversión en Dibujo Técnico es una transformación geométrica que cumple que:

1-Dos puntos inversos (A, A1) están alineados con un punto fijo (O) llamado Centro de Inversión. Por ello la inversión es una transformación con centro.

2-La relación entre las posiciones relativas de cada punto y su transformado respecto del centro de inversión se basan en el concepto de potencia. El producto de la distancia de un punto al centro de inversión por la distancia de su inverso al centro de inversión es constante (K) y se llama potencia de inversión. Por lo tanto: OA*OA1 = OB*OB1 = OT*OT = K 

La inversión puede ser positiva, si K>0, o negativa, si K<0. Si la potencia de inversión es positiva, un punto y su transformado se encuentran al mismo lado respecto del centro de inversión. Si la potencia es negativa el centro de inversión se encuentra entre cada punto y su transformado.

El punto de tangencia (T) desde el centro de inversión (O) a la circunferencia (c) coincide con su inverso (T1). Como no podía ser de otra manera también se cumple que OT*OT1 = OT*OT= K, por tanto, OT = Raíz cuadrada de K. 

Todos los puntos situados a la misma distancia del centro de inversión que este punto T forman parte de un lugar geométrico denominado circunferencia de autoinversión. Esto se debe a que la circunferencia transformada de la circunferencia de autoinversión es ella misma. En el caso de potencia positiva los puntos pertenecientes a la circunferencia de autoinversión son dobles puesto que cada punto y su transformado coinciden. Cuando la potencia es negativa los puntos pertenecientes a la circunferencia de autoinversión tienen su transformado en dicha circunferencia pero en el diámetro opuesto. Por ello se puede decir que la circunferencia de autoinversión es siempre doble, tanto en potencia positiva como negativa, pero sólo se puede hablar de circunferencia de puntos dobles en el caso de potencia positiva. 

 OTRAS CARACTERÍSTICAS DE LA INVERSIÓN:

1. Dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia. El concepto de potencia nos permiten asegurar que dos puntos y sus inversos son concíclicos (están en una misma circunferencia que es doble en la inversión y corta ortogonalmente a la misma).

2. Dados dos puntos A, B y sus inversos A1, B1, las rectas A-A1y B-B1 son antiparalelas de las rectas A-B y A1-B1. Esto quiere decir que se cumple la condición angular que expresa la siguiente figura:

INVERSIÓN DE ELEMENTOS:

PUNTOS:

La inversión de puntos se puede resolver mediante construcciones de potencia o con los denominados teoremas del cateto y de la altura.

Caso1: Inversión de puntos cuando la potencia es positiva

En este caso uno de los puntos es interior a la circunferencia de autoinversión y el otro exterior (o son dobles y están sobre ella), pero al mismo lado respecto del centro de inversión.

Por ejemplo, conocida la raíz de la potencia de inversión, el centro de inversión y el punto A para obtener su inverso A1, podemos aplicar el teorema del cateto haciendo uso de la circunferencia de autoinversión tal y como se aprecia en la siguiente figura:


Caso 2: Inversión de puntos cuando la potencia negativa:

Una inversión negativa se puede obtener mediante una positiva de igual potencia (en módulo) más una simetría central. Aplicando el teorema de la altura determinaremos pares de puntos inversos.

RECTAS: 

Caso 1: La inversa de una recta que pasa por el centro de inversión es ella misma. Sin embargo los infinitos puntos que la conforman y sus inversos no son dobles

Caso 2: La inversa de una recta que no pasa por el Centro de Inversión es una circunferencia que sí pasa por el Centro de Inversión.

Se cumple además que la recta que une el Centro de Inversión con el centro de la circunferencia es perpendicular a la recta dada.

CIRCUNFERENCIAS:

Caso 3: La inversa de una circunferencia que pasa por el Centro de Inversión es una recta que no pasa por el Centro de Inversión.

El caso 2 y el caso 3 son complementarios.

Caso 4: La inversa de una circunferencia que no pasa por el Centro de Inversión es otra circunferencia homotética de la primera.

Casos particulares del caso 4:

Caso 4.a: Como caso particular de éste cuarto caso: La inversa de una circunferencia que pasa por un par de puntos inversos es inversa de sí misma.

Caso 4.b: Otro caso particular de éste cuarto caso: La inversa de una circunferencia cuyo centro coincide con el centro de inversión es otra circunferencia concéntrica a la misma.

BIBLIOGRAFÍA

http://piziadas.com/dibujo/geometria-metrica 

http://www.10endibujo.com/inversion/