EJERCICIOS RESUELTOS ABATIMIENTOS Y DESABATIMIENTOS

Ejercicio de abatimiento de un punto respecto al plano horizontal: Ejercicio de abatimiento de un punto respecto al plano vertical: Ejercicio de una recta cualquiera respecto al plano horizontal: Ejercicio de una recta cualquiera respecto al plano vertical: Ejercicio abatimiento de una recta horizontal respecto al plano horizontal: Ejercicio abatimiento de una recta frontal respecto al plano vertical: Ejercicio de abatimiento de la traza vertical de un plano: Ejercicio de abatimiento de la traza horizontal de un plano: Ejercicio de abatimiento de una figura plana: Ejercicio de abatimiento de la traza vertical de un plano abierto: Ejercicio de abatimiento de una figura plana 02: Ejercicio de verdadera magnitud de un ángulo entre dos rectas: Abatimiento de una figura plana contenida en un plano de canto: Ejercicio abatimiento de la recta t respecto al plano vertical: Ejercicio abatimiento de la recta s respecto al plano vertical: Ejercicio desabatimiento de la traza de un plano: Ejercicio desabatimiento de una figura plana: Ejercicio desabatimiento de un cuadrado: Ejercicio desabatimiento de un pentágono:

GEOMETRÍA DESCRITIVA _ SISTEMA LIBRE

GEOMETRÍA DESCRIPTIVA _ SISTEMA LIBRE
La geometría descriptiva es el conjunto de técnicas de carácter geométrico que permite representar el espacio tridimensional sobre una superficie bidimensional. Dos de estas técnicas son el sistema diédrico y el sistema libre. El denominado “Sistema Libre” es más flexible que el tradicional sistema diédrico, dando relevancia a las líneas de referencia y orientando el modelo hacia una geometría espacial más conceptual; el modelo se basa en entender la aplicación de las relaciones pitagóricas y proyectivas elementales. Para obtener la representación de los diferentes elementos en el sistema libre, sólo es necesaria la dirección de los planos de proyección, y no su posición concreta en el espacio. De la misma manera, en cuanto tenemos dos o más puntos, el sistema se independiza de la línea de tierra.
PROYECCIÓN DE LA RECTA EN EL SISTEMA DIÉDRICO Y EN EL SISTEMA LIBRE + VERDADERAS MAGNITUDES
Para entender mejor el sistema libre y en qué se diferencia del sistema diédrico a continuación se explica paralelamente la proyección de la recta en ambos sistemas. La proyección de una recta se reduce a la de dos de sus puntos. En el “Sistema diédrico” las proyecciones de los elementos a representar se realizan al menos sobre dos planos ortogonales  para determinar inequívocamente las posiciones en el espacio de los puntos representados. Estos planos se denominan plano horizontal de proyección H y plano vertical de proyección V. A la recta intersección i de los planos de proyección se la conoce con el nombre de “Línea de tierra“. A continuación se abate un plano de proyección sobre el otro (normalmente el plano horizontal H sobre el vertical V) para obtener las dos proyecciones ortogonales sobre un mismo plano.
El sistema diédrico se basa en la proyección cilíndrica ortogonal. Por ello, al abatir el plano horizontal sobre el vertical, las proyecciones de cualquier punto P, P’ y P”, quedan alineadas en una recta que se denomina “Línea de referencia”. Las líneas de referencia de las proyecciones de los puntos son siempre perpendiculares a la recta intersección i de los planos de proyección.		Figura 1
Se representa a continuación, según los conceptos explicados, una recta definida por los puntos P y Q en sistema diédrico. Ver figuras 1 y 2.		Figura 2
La misma recta definida por los puntos P y Q, representada sobre otros planos de proyección H´ y V´ (paralelos a H y V), en sistema diédrico se representa tal y como se refleja en la figura 3.		Figura 3
Si se comparan las figuras 1 y 3 se observa que si la recta se proyecta  sobre otros planos de proyección, H´ y V´, paralelos a H y V, las distancias absolutas (z1, z2, y1 e y2) de los puntos a sus proyecciones, dependen del plano concreto que se use para la proyección, pero la diferencia de distancias obtenidas entre dos puntos de la recta o distancias relativas (Dz, Dy e Dx) se mantienen invariables.		Figura 4
En el sistema libre la recta definida por los puntos P y Q quedaría representada como se indica en la Fig. 5. Se trata de una representación más simplificada en la que no se pierde información sobre la forma del objeto, como acabamos de ver. La representación se basa en las tres coordenadas relativas (x, y, z) según la dirección de los ejes coordenados del triedro. Desaparece por tanto la línea de tierra y sólo es necesaria la dirección de los planos de proyección, y no su posición concreta en el espacio.		Figura 5
Para obtener la verdadera magnitud del segmento PQ  se debe construir uno de los dos posibles triángulos rectángulos en los que la hipotenusa es la magnitud buscada. Dichos triángulos son el PQ-pq´-DZ y el PQ-pq´´-Dy.  Después  se aplica el teorema de Pitágoras. Ver figuras 6 y 6a.
Figura 6				Figura 6a
También gracias a los triángulos antes descritos y al teorema de Pitágoras, se pueden obtener los ángulos α y β que forma la recta con los planos de proyección. Ver figuras 6 y 6a.
Tanto en el sistema diédrico como en el sistema libre se pueden etiquetar de diferente forma a las proyecciones. Algunas biografías utilizan subíndices, otras tildes o números romanos. Normalmente a la proyección sobre el plano horizontal se la denomina como “la primera” proyección, a la proyección sobre el plano vertical se la denomina como “la segunda” y a la proyección sobre un tercer plano ortogonal a los anteriores, denominado plano de perfil, se la nombra como “la tercera” proyección.
LA TERCERA PROYECCIÓN EN LOS SISTEMAS DIÉDRICO Y LIBRE
En determinadas ocasiones es imprescindible utilizar la tercera proyección para que una recta quede totalmente determinada en el espacio. Por ello se explica a continuación como se realiza la tercera proyección para la recta pq, definida por los puntos P y Q, tanto en diédrico como en el sistema libre.
La “tercera proyección” se realiza sobre un plano ortogonal a los planos horizontal H y vertical V de proyección, denominado plano de perfil P. Los tres planos, V, H y P, determinan un triedro trirrectángulo, de tres coordenadas (x, y, z), que permiten restituir la información espacial que tengamos representada (proyectada). Al proyectar sobre un plano, la única coordenada que no se tiene proyectada en esta proyección es la perpendicular a dicho plano.		Figura 7
Para obtener  la tercera proyección vemos que los planos ortogonales del triedro comparten una misma coordenada dos a dos, lo que sirve para obtener la nueva proyección. Ver figura 7.
Para obtener la representación en diédrico de la tercera proyección: Observando la figura 7 y conociendo P´, Q´, P´´ y Q´´,  se ve que las proyecciones P”’ y Q”’  estan determinadas, pues éstas mantienen la misma altura (z1,z2) respecto del plano horizontal que P” y Q” , y el mismo alejemiento (y1,y2) respecto de plano vertical que P´y Q´. Por tanto, las nuevas proyecciones, P”’ y Q”’ de la recta, se encuentran en las correspondientes líneas de referencia. Ver figura 8.		Figura 8
En el caso del sistema libre la representación de la tercera proyección, conocidas la primera y segunda proyección, se realiza fijando uno de los puntos  P´´´ o Q´´´. A continuación, el otro punto se obtiene mediante las cotas relativas (Dz, Dy) que deben mantenerse. Ver figura 9.		Figura 9
PROYECCIÓN DEL PLANO EN EL SISTEMA DIÉDRICO Y EN EL SISTEMA LIBRE
Un plano queda determinado por tres puntos no alineados, por lo que añadiendo un nuevo punto a las proyecciones de una recta podremos definirlo.			Figura 10
Las proyecciones diédricas de un plano quedan suficientemente determinadas con la proyección de dicho plano sobre otros dos que formen un sistema diédrico, es decir, que sean ortogonales. Lo normal es dar las proyecciones sobre un plano vertical y otro horizontal, aunque es igualmente posible dar las proyecciones sobre  un  plano vertical y otro de perfil. En la figura 11 se ha representado el plano según los criterios del sistema diédrico.			Figura 11
Como se aprecia, en el sistema diédrico priman las distancias absolutas (z1, z2, z3, y1, y2, y3) frente a las distancias relativas (Dz1, Dz2, Dy1, Dy2, Dx1, Dx2 )
La representación de ese mismo plano, definido por los puntos PQR, en el sistema libre es el representado en la figura 12. Al igual que en el caso de la recta, al tratarse de una proyección cilíndrica ortogonal, la proyección del plano sobre dos planos paralelos de proyección, H-H´ o V´-V´, teniendo en cuenta las distancias relativas, es invariable. En este caso se deben dar al menos dos cotas relativas sobre cada plano de proyección con objeto de independizar las proyecciones de los planos soporte de la representación H y V.	Figura 12
El sistema libre se basa en las distancias relativas (Dz1, Dz2, Dy1, Dy2, Dx1, Dx2) y prescinde de las distancias absolutas (z1, z2, z3, y1, y2, y3).
La tercera proyección del plano se obtiene hallando R´´´, tercera proyección del punto R, puesto que las proyecciones  P´´´ y Q´´´ ya las conocemos (ver tercera proyección de la recta). R´´´ se halla, tanto en el caso del sistema diédrico como en el del sistema libre, procediendo de la misma manera que se ha explicado para la recta.	Figura 13
La tercera proyección del plano PQR en sistema diédrico es la dibujada en la figura 14.
Figura 14
La tercera proyección del plano PQR en sistema libre es la dibujada en la figura 15. De nuevo la proyección R´´´, conocidas la primera y la segunda proyección, se obtiene  mediante las cotas relativas (Dz, Dy) que deben mantenerse invariables.	Figura 15
Recurso didáctico: http://piziadas.com/dibujo/sr